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上海电力大学 高教研究 2021 年第 期

f (n+ 1) () ξ
xx
充要条件是拉格朗日余项 R ( ) x = (x − x ) n+ 1 ,(ξ介于 与 之间 )
n
(n + 1)! 0 0
当 n →∞时的极限是零，即

1. 直接计算法

（1）求 ()fx 的各阶导数
（2）求 f () (0),(n = 1,2, )
n


n
∞
（3）写出幂级数∑ f () (0) x n ， 并求出收敛半径 R
n= 0 ! n
()

（4）考察余项 Rx 是否趋于零？如趋于零，则 fx ,) 内的幂级数展开式为
() 在 ( RR−
n
f ''(0) f () n (0)
fx f (0) + f '(0)x + x + 2 + x + n 
( ) =
2! ! n
x
例 1：将函数e 展开成 x 的幂级数。

解:因为 () | x= 0 = 1
e
x (n)
x 2 1
+
n
故有级数 1 x + + + x +  ，- ∞ < x < +∞
2! ! n
对任何有限数 x 和 ξ(ξ 在 0 与 x 之间 )，余项的绝对值为

因为 有限，而 是收敛级数 的一般项，所以当 n →∞时， ，

即当 n →∞时， . 于是有 ，类似可以得

1 ∞ 1 ∞
n
n
n
−
−
−
到 = ∑ x ， x∈ ( 1,1) = ∑ ( 1) x ， x∈ ( 1,1)
1-x n= 0 1+x n= 0
∞ x n+ 1
−
ln(1 x = ∑ ( 1) n ， x∈ ( 1,1]
−
)
+
n= 0 n + 1
从定理，例 1 中可以看出一个函数的幂级数展开式只依赖函数在展开点处的各阶导数，这是
Taylor 级数的优点。但这又是它的缺点，因为求函数的任意阶导数并不容易，而且许多函数难以满
足这样强的条件。其实，我们可以利用已知的结果求函数的幂级数展开式。
2. 间接法
1
例 2 将函数 fx 展开成（x-1）的幂级数。
() =
x + 2 4x + 3
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