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上海电力大学 高教研究 2021 年第 期

高等数学课程思政的教学案例初讨

——以函数的幂级数展开为例

佟洁

摘 要：高等教育的根本任务就是立德树人，以高等数学中函数的幂级数展开为例，分析了在教
学中如何有效地融入思政元素 , 培养学生的创新精神，提高教学质量的方法。
关键词：幂级数；Taylor 级数；拉格朗日余项

一、引言

习近平总书记在 2018 年 9 月全国高校思想政治工作会议上强调 : 要坚持把立德树人作为中心环
节，把思想政治工作贯穿教育教学全过程。要用好课堂教学这个主要渠道，思想政治理论课要坚持在
改进中加强，其他各门课都要守好一段渠、种好责任田，使各类课程与思想政治理论课同向同行，形
成协同效应 [1] 。高等教育的根本任务就是立德树人。高等数学作为大一新生的核心课程 , 有责任率先
履行好立德树人的根本任务。将思政教育引入到课堂教学中 , 对学生高等数学课程的学习，甚至对高
等教育的育人目标都有非常重要的影响。以高等数学教学中无穷级数求和为教学案例 , 探讨如何根据
教学内容恰当引入思政元素 , 在教学中培养学生的创新精神，提高教学质量。

二、以函数的幂级数展开为例

函数的幂级数 (Taylor 级数 ) 展开是数学分析课程中最重要的内容之一 , 也是整个分析学中最
有力的工具之一。有了函数的幂级数展开式，可以用它来进行近似计算，求解一阶、二阶微分方程。
许多函数都可以表示成幂级数 [2] , 如 :
x 2 1
x
e = + + + x  n + ，- ∞ < x < +∞
1 x +
2! ! n
x 3 x 5 1
sin x = − + +  + − n x 2n+ 1 +  ，- ∞ < x < +∞
( 1)
x
3! 5! (2n + 1)!
1 = 1 xx− + 2 − x + + ( 1) x− n n + ∞ < x < +∞
3
1 x+   ，-

函数展开成幂级数 , 体现的是从有限到无穷的过程。在教学过程中 , 首先要从直观上指导学生明
白，研究幂级数展开貌似复杂 ( 因为有无穷项相加 ), 但实际上是希望将具体的函数用无穷个函数的
和去表达。当然这一过程要求这个函数满足某些特定条件。
定理：设函数 f(x) 在点 x 0 的某个邻域 U(x 0 ) 内具有各阶导数，则 f(x) 在该邻域内能展成泰勒
级数 ，即
x
x
f "() f () n ()
x
f ( ) = x f ( ) + x f '( )(x − x ) + 0 (x − x ) + 2 + 0 (x − x ) + n R ( )
x
0
0
0
2 ！ 0 n！ 0 n
作者简介：佟洁，上海电力大学数理学院，副教授。
基金项目：上海电力大学“课程思政”项目 ( 编号：20201249)；上海电力大学研究生《矩阵论》课程思政探究项目（编号：YKJ-
2021009）
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